y=f(x)=(1/2)x²とする。
df(x)/dx=xより
∫xdx=∫(df(x)/dx)dx=(1/2)x²
左辺をdxで約分し、右辺はf(x)より
∫df(x)=f(x)
∫d=1
∴∫=1/d
俺は別スレでライプニッツがどういうつもりで∫記号を使ったのか書いたんだが、散々煽られたから二度と書かない。
せいぜい自力で頑張って考察すればいい。
ライプニッツは∫だけで、今日でいう∫ dxの意味を持たせていたようだ。
ところが、これでは何で積分したのか分からないので、後の学者がdxを加えたのだろうと思われる。
ライプニッツ自身は∫とdを逆の働きをする記号であると考えていたのではないだろうか？
∫dxとあったときに、
∫dxは∫1dxで1を積分してxと考えることもできるが、
∫dxの∫とdが相殺してxになったと考えることもできるのではないか。
limを導入したのはルイリエであり、ライプニッツよりも後の時代の人。
limが導入されるとΔy/Δxの極限として、dy/dxが扱われるようになる。
∫ｲﾝﾃｸﾞﾗﾙは半ｸﾞﾏを区間で引っ張った！
引っ張ってなめらかにした！
ライプニッツのdの扱いは、ヘビサイドの演算子法のpの扱いに似ているんだな。
普通、ライプニッツとヘビサイドを比べることはしないんだが、記号法だけ見れば似ているとも言える。
f ds = g dx + h dy なら
∫f ds = ∫ g dx + ∫ h dy
になるのが納得できん！
f ds = g dx + h dy → f ds/dt = g dx/dt + h dy/dt
→ ∫ (f ds/dt) dt = ∫ (g dx/dt) dt + ∫ (h dy/dt) dt
→ ∫ f ds = ∫ g dx + ∫ h dy でいいじゃん
工学系だけどめっちゃ∫単体で使うんだけど
あとdxとかdSとかはそれだけで計算したりするし
最後には２りをくっつけるけど
dxとdyが比例関係なら
d２yはdxの２次関数でいいですか？
もとの関数にとって何か図形的意味はあるますか？
d2y=f''(x)(dx)^2 と見てテーラー展開の２次の項と関連付けて見る方法はないですか
俺も∫を「シュ」って読んでいたな。
発音記号では/∫/はシュだからな。
ドイツではdy/dxは「微分商」と呼ばれるんだから、少なくともライプニッツはdy/dxを分数だと思っていたんじゃないかな？
それで後の時代に。微分演算子d/dxとyを別々に考える考え方が発生したと。
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